比特币背后的诺贝尔奖:投票悖论和阿罗不可能定理
美国大选日当天，此前市场热炒的“特朗普交易”出现退潮信号。隔夜BTC一度回踩至30日均线66.9k附近。关于本次大选背后的新钱与老钱博弈，可以参考内参
《11.4 教链内参：美国大选，新钱对老钱，鹿死谁手？》
美国大选采用投票式民主。但投票真的能实现民主吗？遗憾的是，从数学角度看并不能。即便排除选票造假、非法投票等操作性问题，1972年诺贝尔经济学奖得主肯尼斯·阿罗（Kenneth J. Arrow）的研究成果也已证明，投票本身无法实现真正的民主。
什么是民主？民主是一群人通过某种制度形式，做出集体选择或称集体决策，且该决策能够符合群体中最大多数人的利益诉求。
由此可见，民主首先是有边界的。美国人的民主只是为了符合美国人的利益，至于它是否会损害地球上其他非美国人的利益？当然有可能。
其次，民主的目的是做出集体决策，或者说得出一个具体的集体选择。投票只是达成这一目的的手段与方法。
最后，民主的目标是利益（而非道德或其他），最终结果必须有利于最大多数人的利益。
即便我们暂且忽略一群人做的集体决策是否真的有利于多数人，单看“做出集体选择”这一步，阿罗已经证明：没有任何一种投票制度的设计能真正得出一个符合所有合理条件的结果。
在1972年斯德哥尔摩诺贝尔奖颁奖典礼上，阿罗所作报告《一般经济均衡：目的，分析技术，集体选择》的结尾，他引用了18世纪法国学者孔多塞提出的投票悖论作为生动例证。
这个例子是这样的：
张三、李四、王五三人中午相约吃午饭。选项有三家：黄焖鸡米饭、达美乐披萨、肯德基汉堡。
张三的偏好：黄焖鸡 > 披萨 > 汉堡
李四的偏好：披萨 > 汉堡 > 黄焖鸡
王五的偏好：汉堡 > 黄焖鸡 > 披萨
请设计一个投票制度，让他们通过民主投票选出最好的选项。
初中数学及格的人都能发现，这样的民主投票制度根本不存在！
若投票结果是黄焖鸡：只有张三满意。李四和王五都觉得，选黄焖鸡不如选汉堡。
若投票结果是披萨：只有李四满意。张三和王五都觉得，选披萨不如选黄焖鸡。
若投票结果是汉堡：只有王五满意。张三和李四都觉得，选汉堡不如选披萨。
可见，即使在一个如此简单的系统中，民主也无法实现。无论怎么选，绝大多数人都不满意。
这还只是三个人选吃的。如果是三亿人选总统，难道就能保证投票选举一定可以达成真正的民主决策——即选出的总统有利于最大多数人的利益吗？
更复杂的设计只会掩盖根本问题，而无法解决它。因为这是数学和逻辑的问题，不是通过制度设计就能克服的。
阿罗推广并形式化了这一问题，并进行了严格的数学证明，称为阿罗不可能定理（Arrow's impossibility theorem）。
在民主决策和投票系统中，人们往往希望根据所有成员的个人偏好来形成集体决策。但阿罗不可能定理表明，任何试图汇总个人偏好以形成社会偏好的规则，都无法同时满足以下五个看似合理的条件：
1. 非独裁性：没有任何一个人能完全决定社会偏好。社会偏好不应等于某个个人的偏好，集体决策应反映多个成员的意见。
2. 一致性（帕累托效率）：如果所有人都偏好A胜过B，那么社会偏好也应反映出A优于B。这是集体决策的基本合理性要求。
3. 独立于无关选项：社会对A和B的偏好关系只应取决于人们对A和B的偏好，而不受其他选项影响。加入无关选项C不应改变A和B的排序。
4. 集体理性（传递性）：如果社会偏好A优于B，且B优于C，那么社会偏好应满足A优于C。集体偏好必须一致，不能出现循环。
5. 普遍领域：所有可能的个人偏好组合都应被允许，无论人们偏好如何，规则都应适用。
阿罗证明，在有三个或更多候选项时，任何偏好汇总机制都不可能同时满足上述五个条件。换句话说，要么放弃其中某个条件，要么接受一个不完美的决策系统（例如接受一个“独裁者”来做决策，或允许系统不满足一致性等条件）。
阿罗不可能定理表明，在追求公平、合理和一致的集体决策时，存在无法避免的矛盾。这一定理对整治学、经济学、社会选择理论和投票制度设计等领域影响深远。它揭示了民主决策的内在局限性：我们可能找不到一种完全公平的机制来汇总个人偏好。
阿罗不可能定理揭示了集体决策的基本悖论——在满足合理条件的前提下，无法设计出完美的社会选择规则。任何集体决策机制都需要在公平性、一致性和合理性之间做出权衡。
在中本聪2008年发布的比特币白皮书中，也谈到了多数决策的问题。在第4小节“工作量证明”中，他是这样写的：
「工作量证明还解决了在多数决策中确定代表制的问题。如果基于一个IP地址一票制确定多数，那么该制度就有可能被任何有能力分配很多IP的人所碘伏。工作量证明本质上是一个CPU一票。多数决策由最长链来代表，它有着最大的投入其中的工作量证明。如果多数CPU算力被诚实节点所控制，诚实链就会以最快的速度增长并超过任何竞争链。要修改一个过去的区块，攻击者将不得不重做该区块以及所有后续区块的工作量证明，然后追上并超越诚实节点的工作。我们稍后会展示，随着后继区块被添加，一个较慢的攻击者追上的概率会以指数级衰减。」
中本聪这里讲的“一个CPU一票”，其实是指一份算力一票。这一份算力占整个网络算力的比例，决定了节点的投票权重。
分布式系统的一致性问题，本质上也是一个集体选择问题。只不过做出集体选择的是计算机，自动执行其所有者的意志。
传统的解决方案都是逻辑投票，比如拜占庭容错算法（BFT）之类。FLP不可能定理已经堵死了这条路。
中本聪彻底抛弃了这些走入死胡同的老路。比特币白皮书一个字都没提那些传统分布式算法，也没有引述任何相关参考文献，仿佛它们不存在。
在白皮书第4小节里，中本聪指出，按“人头”（IP地址）投票的办法必然会遇到假票问题。就像这次美国大选，没有投票资格的留学生也轻易投了票，甚至有人自曝曾用猫狗的名字投票。
这在分布式系统中称为“女巫攻击”（Sybil attack），即伪造身份攻击。“女巫”就是分身的比喻。
美国大选系统能抵御女巫攻击吗？看起来是有漏洞的。
有人可能认为，假冒投票收益极小，触及犯罪的损失极大，不会有人干这种事。但如果是参与竞争的一方有组织地搞假票攻击，那么获益就可能是巨大的。
又有人说，全美搞一套身份证系统，选票记名，是不是就能解决？但身份证和记名投票又会带来其他妨害民主的问题。况且统一颁发身份证意味着引入一个中心化的权力部门。
对比特币系统而言，要彻底去中心化，就不能采用这种中心化方案。
中本聪换了一个思路：用“工作量证明”来投票。
简单来说，谁干的活多，谁的话语权（投票权）就大。注意，不是谁的币多（钱多）谁的话语权大。
这与马克思、恩格斯说的让工人阶级掌权异曲同工——让最普遍代表先进生产力的群体掌握最大权力。
为什么？因为持币用户随时可以割肉跑路，而矿工的矿机一旦部署，关机就成废铁。这也是为什么国家的基本盘是工农劳动群众，而不是资本家的原因。
当然，现实社会中干活多少因分工等差异不易测量比较，但对比特币系统却很简单：都是一样的哈希计算，容易测量和比较。
按工作量证明投票的这种生产力民主制（或称算力民主制），得出的结果就是中本聪所说的“最长链”。
「在2008年11月8日的邮件中，中本聪写道：『CPU算力的工作量证明投票必须具有最终的发言权。』让每个人都相信最长链（累积算力最大的链）是有效链，这是建立全球共识的唯一方法。」——摘自《比特币史话》第十一章第51话「算力民主制」
可见，比特币系统是“一党制”——只有一条最长链，而不是美国那样的“两党制”——在两条对等链之间做选择，否则就会出现“脑裂”。最长链是系统的谢林点（Schelling Point，即默认共识，由美国经济学家托马斯·谢林提出）。
任何一个向系统贡献算力的节点，都可以获得提议新区块、延长最长链的权利。对最长链的延长，也是对最长链的认可和确认。
其他所有贡献算力的节点，则通过验证和接纳这个新区块，来实现对被延长的最长链的认可。
只要超过半数的算力都认可了被延长的最长链，这就是新的全局共识了。
在《比特币史话》第十一章第51话「算力民主制」的最后，教链如此总结：
「矿工通过算力投票实现坚持最长链原则一百年不动摇，但矿工并不能篡改任何共识规则。共识规则由比特币核心开源代码定义，修改权力掌握在开发团队手中，但开发团队并不能为所欲为随意破坏共识规则，因为矿工和用户拥有推举新的开发团队分叉代码（复制一份开源代码另行维护）的权利。而最终的决定性力量其实还是广大持币用户——他们决定卖出哪个币、买入哪个币，就是在用脚投票。水可载舟，亦可覆舟。但与此同时，持币用户是『乌合之众』，他们只有来去随意的消极自由，而没有强迫开发团队修改规则的积极自由或权力。
「让有自由的没权力，有权力的没自由。来去随意，但谁都不能为所欲为。这，就是比特币的算力民主制。」